El presente trabajo de tesis tiene como principal tema de estudio la teoría espectral en álgebras no conmutativas; siendo más específico, el propósito de este trabajo es estudiar para un álgebra de Waelbroeck W, I un ideal izquierdo de W y (a1, . . . , an) un sistema finito de elementos de W (el cual cumple con ciertas propiedades), un espectro nuevo, a saber, el espectro combinado asociado al ideal izquierdo I, denotado por σ I l (a1, . . . , an), el cual es definido en (3.5.1), capítulo 3. A diferencia de otros espectros σ I l está definido para sistemas de elementos (a1, . . . , an) que no necesariamente conmutan. Además σ I l es una generalización del espectro esencial que se estudia en teoría de operadores en espacios de Banach y cabe resaltar que coincide con espectro combinado clásico σl , para I = {0}. Esta tesis está compuesta por tres capítulos principales y un cuarto capítulo destinado para las conclusiones y perspectivas. El capítulo 1 es una breve introducción a los espacios vectoriales topológicos y culmina en un ejemplo de espacio de Fréchet, el cual nos brindará herramientas para abordar el estudio de las álgebras de Waelbroeck en el capítulo número dos. Dentro del capítulo 2, se estudia ejemplo de ´algebra de Waelbreock la unitización S˜(R n ) del espacio de Schwartz de funciones rápidamente decrecientes (S(R n )), esto es, S˜(R n ) = S(R n ) + C. Posteriormente se realiza un estudio breve del espacio S(R n ) bajo la transformada de Fourier el cual se extiende a matrices cuadradas con entradas en S(R n ). En este trabajo solo consideramos las matrices de 2 × 2 pero las demostraciones son análogas para el caso de matrices de (n×n). Esto asegura que además de las álgebras de Banach existen álgebras que son no conmutativas tales como las álgebras de Waelbroeck. El tercer capítulo es el contenido original de este trabajo, pues nos introducimos en el estudio de la teoría espectral en álgebras de Waelbroeck. Como ya dijimos arriba, σ I l (a1, . . . , an) es un espectro nuevo para un sistema finito de elementos del álgebra W, y se demuestra que este nuevo espectro además de ser no vacío también cumple o satisface con la propiedad de mapeo espectral, esto es P(σ I l (a1, . . . , an) ) = σ I l (P(a1, . . . , an) ) para cualquier sistema de polinomios P = (P1, . . . , Pm) de n variables.
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