Downflow fluidization is an attractive unit operation because it allows a smooth circulation of the fluid and the solid support material, as well as an uninterrupted and controlled operation of the fluid to be treated. The motivation of this work, is based on the search for mathematical models that allow describing this phenomenon and support hydrodynamic description during wastewater treatment. The models presented in this work are based on the operational physics of downflow fluidization. The main feature of these systems is the minimum fluidization velocity curve, which does not have a plateau where the pressure drop is constant, unlike the upward fluidization systems where it does exist. This pressure drop is given as a function of the density of the particles used. In downwflow fluidization systems, the density of the particles is less than the density of the fluid where they are dispersed. Momentum transport in fluidized beds is generally modeled by macroscopic models. These models are expressed in terms of effective transport coefficients that result from analogies of transport in porous media, which in this case are assumed as a fixed bed. In practice, it is desirable to deduce these models and predict the coefficients involved in a reliable manner, by obtaining the physical meaning of these coefficients associated with momentum transport. The fluidized bed to be modeled is a three-phase system that contains solid particles, the gas that is produced by treating wastewater and the liquid where both, particles and gas bubbles are immersed and interacting. Due to the mathematical complexity of directly addressing the threephase system, the development of this work in a phased manner is proposed. This means that the two-phase liquid-solid and liquid-gas interactions are analyzed first, from which the physical characteristics, average regions along with the proposal of equations and associated boundary conditions are obtained. Once these analyses have been carried out and these parameters have been obtained, these simplifications are used in the three-phase system, giving rise to a model that contains the descriptive characteristics of the interaction with all its phases. In the first part of this work a macroscopic model for the hydrodynamics of the downflow fluidization is developed, using the method of volume averaging, obtaining a model with the form of Darcy’s law with a correction in velocity relative of the fluid with respect to the solid. A salient feature of the model is that it allows predicting the apparent permeability coefficient in different geometries and in different transport conditions. In addition, the average model obtained can be used for both types of fluidization (upward or downflow), since it is not restricted by the flow direction. In the second part of the work, for the modeling of the two-phase liquid-gas flow, an effective medium model is developed and used to predict the hydrodynamics of the bubble flow at its terminal velocity by means of an abbreviated version of the method of volume averaging. This modeling is a challenging problem in hydrodynamics due to the complexity to determine the structure of the gas phase movement. In this case, the momentum transport of that phase is studied by direct numerical simulations. The resulting model is applicable to describe the velocity in the two phases, once the bubbles have acquired the terminal velocity. This model consists of two average equations expressed in terms of four effective average coefficients of apparent permeability. These coefficients are determined from the solution of the closure problems associated with a bubble scale level. The model is validated by comparing the velocity fields of the gas phase with the velocity data arising from direct numerical simulations and with experimental results of of bubble systems that measure the terminal velocity. In the third and last part of the work, the physical parameters obtained from the previous models, the averaging regions and the expressions of momentum transport such as the continuity and transport equations associated with each phase and the corresponding boundary conditions are used at each interface. It should be noted that the time dependence is considered in this part of the modeling, which is a variable that is not usually taken into account in two-phase models. The three-phase macroscopic model obtained is written in terms of the associated coefficients of the developed closure problems, which also consider temporal terms. In general, during the development of the biphasic models the apparent permeabilities in each of them are obtained. In the three-phase system, the macroscopic model is expressed in terms of the effective transport coefficients that in the same way as for the two-phase systems are apparent permeabilities. As a prospective analysis, those effective transport coefficients can be used for the determination of the parameters of the pumping systems necessary for experimental implementation and for an adequate minimum fluidization rate.
La fluidización de flujo descendente es una operación unitaria atractiva porque permite tener una circulación suave del fluido y el material de soporte sólido, así como una operación ininterrumpida y controlada del fluido a tratar. La motivación de esta investigación, está basada en la búsqueda de modelos matemáticos que permitan describir este fenómeno y apoyen la descripción hidrodinámica durante el tratamiento de aguas residuales. Los modelos que se presentan en este trabajo, están basados en la física operacional de la fluidización de flujo descendente. La característica principal de estos sistemas es la curva de la velocidad mínima de fluidización, la cual, en este caso no tiene una meseta donde la caída de presión es constante, a diferencia de los sistemas de fluidización ascendente donde si existe. Dicha caída de presión, está dada en función de la densidad de las partículas utilizadas. En los sistemas de fluidización descendente, la densidad de las partículas es menor a la densidad del fluido donde se encuentran dispersas. El transporte de cantidad de movimiento en lechos fluidizados generalmente se modela mediante modelos macroscópicos. Dichos modelos se expresan en términos de coeficientes de medio efectivo que vienen de desarrollar analogías con el transporte en medios porosos, que en este caso se suponen como un lecho fijo. En la práctica, es deseable deducir estos modelos y predecir los coeficientes involucrados de una manera confiable, al obtener el significado físico de dichos coeficientes asociados al transporte de cantidad de movimiento. El lecho fluidizado a modelar, es un sistema de tres fases (trifásico) que contiene a las partículas sólidas, el gas que se produce al tratar aguas residuales y el líquido en donde están inmersas e interactuando tanto las partículas como las burbujas de gas. Debido a la complejidad matemática que representa el abordar directamente el sistema trifásico, el desarrollo de este trabajo se propone de manera escalonada. Lo anterior quiere decir que primero se analizan las interacciones bifásicas líquido-sólido y líquido-gas, de donde se obtienen las características físicas, regiones de promediado junto con la propuesta de ecuaciones y condiciones de frontera asociadas. Una vez realizados estos análisis y al haber obtenido dichos parámetros, estas simplificaciones se emplean en el sistema trifásico, dando lugar a un modelo que contiene las características descriptivas de la interacción con todas sus fases. En la primera parte de este trabajo se desarrolla un modelo macroscópico para la hidrodinámica de la fluidización de flujo descendente, utilizando el método del promedio volumétrico, obteniendo un modelo con la forma de la ley de Darcy con una corrección en la velocidad relativa del fluido respecto del sólido. Una característica destacada del modelo es que permite predecir el coeficiente de permeabilidad aparente en diferentes geometrías y en diferentes condiciones de transporte. Además, el modelo promedio obtenido se puede usar para ambos tipos de fluidización (ascendente o descendente), ya que no está restringido por la dirección del flujo. En la segunda parte del trabajo, para el modelado del flujo bifásico líquido-gas, se desarrolla un modelo de medio efectivo y se usa para predecir la hidrodinámica del flujo de burbujas en su velocidad terminal por medio de una versión abreviada del método del promedio volumétrico. Este modelado, es un problema desafiante en hidrodinámica debido a la complejidad para determinar la estructura del movimiento de la fase gaseosa. En este caso, el transporte de cantidad de movimiento de dicha fase se estudia realizando simulaciones numéricas directas. El modelo resultante, es aplicable para describir la velocidad en las dos fases, una vez que las burbujas han adquirido la velocidad terminal. Dicho modelo consta de dos ecuaciones promedio expresadas en términos de cuatro coeficientes de medio efectivo de permeabilidad aparente. Estos coeficientes se determinan a partir de la solución de los problemas de cerradura asociados a un nivel de escala de una burbuja. El modelo se valida mediante la comparación de los campos de velocidad de la fase gaseosa con los datos de la velocidad que surgen de simulaciones numéricas directas y con resultados experimentales de sistemas de burbujas que miden la velocidad terminal. En la tercera y última parte del trabajo, se utilizan los parámetros físicos obtenidos de los modelos anteriores, las regiones de promediado y las expresiones de cantidad de movimiento tales como las ecuaciones de continuidad y de transporte asociadas a cada fase y las condiciones de frontera correspondientes a cada interfase. Cabe señalar que en esta parte del modelado, se considera la variación en el tiempo, la cual es una variable que no se toma en cuenta en los modelos bifásicos. El modelo macroscópico trifásico obtenido queda en términos de los coeficientes asociados de los problemas de cerradura desarrollados, que en este último caso también consideran términos temporales. En general, durante el desarrollo de los modelos bifásicos se obtienen las permeabilidades aparentes en cada uno de ellos. En el sistema trifásico, queda expresado el modelo macroscópico en términos de los coeficientes efectivos de transporte que del mismo modo que para los sistemas bifásicos son permeabilidades aparentes. Como como prospectiva de análisis, dichos coeficientes efectivos de transporte, se pueden emplear para la determinación de los parámetros de los sistemas de bombeo necesarios para la implementación experimental y de una adecuada velocidad mínima de fluidización.
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