Subtopologías separables y Cocientes de grupos fuertemente realcompactos Público Deposited
Esta tesis tiene dos temas principales, que inspiraron la elaboración de dos artículos: Isomorfismos continuos sobre grupos separables (ver [21]). Cocientes de grupos fuertemente realcompactos (ver [22]). En la Introducción se presentan los antecedentes históricos que motivan el estudio de los problemas atacados en esta tesis. El Capítulo 1 “Preliminares” se divide en 4 secciones. En la sección 1.1 se da una introducción a los grupos topológicos y se mencionan las características más importantes que serán utilizadas en este trabajo. En la sección 1.2 se introduce el concepto de subtopología y se enuncian resultados ya conocidos. En la sección 1.3 se definen diferentes tipos de completitud tanto en espacios como en grupos topológicos y se presenta el concepto de grupos fuertemente realcompactos y fuertemente Dieudonné completos. Por último, en la sección 1.4, se especifica la notación y definiciones básicas que se usaran a lo largo de la tesis. En el Capítulo 2 “Subtopologías Separables” se estudia el problema de las condensaciones sobre espacios separables e isomorfismos continuos sobre grupos topológicos separables. En el teorema 2.1.2 se dan condiciones suficientes para que un espacio topológico tenga una subtopología separable y se dan ejemplos que muestran que ninguna de estas condiciones se puede quitar (ver los ejemplos 2.1.3, 2.1.4 y 2.1.5). Además se prueba que estas condiciones fallan cuando se busca una subtopología de grupo separable, dando ejemplos de grupos topológicos que tienen una subtopología separable pero no una subtopología de grupo separable (ver el ejemplo 2.2.3). En el ejemplo 2.2.5 se construye un espacio de Tychonoff numerablemente compacto y no separable que admite una condensación sobre un espacio compacto separable de cardinalidad 2c . En la sección 2.3 se demuestra que a todo grupo Abeliano de cardinalidad menor o igual que 2c se le puede asignar una topología de grupo Hausdorff separable, es decir, que independientemente de sus características algebraicas, siempre podemos asignar una topología de grupo Hausdorff separable a un grupo Abeliano de cardinalidad menor o igual que 2c (ver el teorema 2.3.11). En el Capitulo 3 “Cocientes de grupos FRC y FDC” se estudian las características que tienen los grupos topológicos fuertemente realcompactos y los grupos fuertemente Dieudonn´e completos. En la sección 3.1 se demuestran propiedades que tienen las P-modificaciones de grupos topológicos y se describe la completación de Raıkov de la P-modificación de un grupo en términos del grupo original. En la sección 3.2 se estudian también los cocientes de los grupos fuertemente realcompactos y de grupos fuertemente Dieudonné completos con respecto a subgrupos completamente metrizables y Cech-completos. Nuestros argumentos nos llevan a estudiar la relación entre ˇ la P-modificación del cociente de grupos y el cociente de las P-modificaciones en la sección 3.3. Por ´último, en el Capítulo 4 “Conclusiones” se presentan las observaciones finales del trabajo y se hacen preguntas que quedan sin responder y que pueden ser interesantes para una investigación futura.
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