La dinámica atmosférica y el cálculo de campos de velocidad de mesoescala consistente con el balance de masa a través de la formulación variacional Público Deposited
La dinámica atmosférica es un sistema complejo ya que está compuesto por una gran diversidad de factores y variables que interactúan entre si exhibiendo no linealidad en sus relaciones. La sensibilidad en sus condiciones iniciales hacen de este, además, un sistema caótico que resulta imprevisible a largo plazo. Es esta la razón de la importancia que tiene el contar con métodos que determinen de manera precisa las variables en juego de un modelo que pretenda simular el comportamiento atmosférico y/o de los fenómenos que ahí tienen lugar. En este trabajo comenzamos por una revisión general del rol que tiene la física matemática en el estudio de la atmósfera; cómo se ha clasificado de acuerdo a escalas espaciales y temporales de manera que sea posible localizar su análisis; el problema con la obtención e integración de datos atmosféricos y la asimilación de estos datos a manera de introducción. La primera parte del trabajo se centra en establecer algunos de los principios físicos y matemáticos fundamentales y necesarios para elaborar modelos primitivos de la dinámica atmosférica. En el segundo capítulo estudiamos los sistemas de referencia y las transformaciones entre sistemas de coordenadas. Hacemos una revisión de las coordenadas eulerianas y lagrangianas; se introduce la esencia del teorema de transporte de Reynolds y formulación covariante-contravariante de los mapeos entre estos sistemas de coordenadas lo cual da lugar a una aplicación para el cálculo de los símbolos de Cristoffel. El capítulo 3 se centra en la derivación a partir de primeros principios de las ecuaciones hidrodinámicas en un sistema de referencia inercial. Establecemos un par de hipótesis necesarias para estudiar los medios continuos que nos son de utilidad para deducir la ecuación de transporte o balance de materia desde la perspectiva lagrangiana y euleriana. Encontramos también la ecuación de movimiento y de energía mecánica a partir de la segunda ley de Newton. La ecuación de energía se estudia para una partícula, para un sistema de partículas y finalmente para un medio continuo. En este último encontramos que parte del trabajo hecho por las fuerzas superficiales resulta en un trabajo interno que genera deformaciones en el interior del volumen lo cual sugiere una relación con el trabajo termodinámico de la primera ley de la termodinámica. Pasamos entonces a estudiar la termodinámica de medios continuos para fluidos en movimiento con ayuda de la hipótesis de equilibrio local. Encontramos que la ecuación de energía es en realidad la síntesis de dos principios físicos independientes; la segunda ley de Newton y la primera ley de la termodinámica. En el capítulo 4 estudiamos las ecuaciones hidrodinámicas en un sistema de referencia fijo a la Tierra en donde introducimos una matriz de rotación que relaciona las bases del sistema de referencia inercial con el sistema no inercial que rota junto con la Tierra. En la literatura de meso-escala, el término gravitacional de la ecuación de movimiento se aproxima por g = gk. Hacemos una revisión de (Nuñez, 2003) en donde se determina cual es la región de validez con esta aproximación en contraste con un modelo de Tierra esférica. Encontramos que para longitudes superiores a los 100km existe un error porcentual, entre las isolineas de presión de ambos casos, mayor al 10 % que aumenta de manera que con longitudes mayores a los 350km el error es superior al 200 %. Esto es relevante debido a que en estudios de meso-escala suelen considerarse longitudes de 800km además de que el término gravitacional de la ecuación de movimiento es el término dominante para diferentes escalas espaciales. En la segunda parte del trabajo nos enfocamos en como generar campos de velocidad físicamente consistentes a partir de datos operacionales. En el capítulo 5 hacemos una breve revisión de métodos que suelen ser usados en la literatura para la interpolación y extrapolación de datos de viento. El capítulo 6 trata con la importancia del balance de masa y la ecuación de continuidad destacando la condición de conservación usada en meteorología. A partir importancia del balance de masa en modelos de transporte atmosférico surgen planteamientos como el de (Kitada, 1987) que propone ignorar el término divergente de la ecuación de transporte. En esta sección hacemos una revisión de (Rocío Mendoza, 2015; MA Núñez y Mendoza, 2015) en donde se estudia esta propuesta analizando la estructura del campo localmente y se concluye que ignorar este término provoca una estructura del campo sustancialmente distinta. La solución, de acuerdo con (MA Núñez y Mendoza, 2017) está en trabajar con campos de velocidad que sean per se no divergentes de manera que se anule naturalmente el término divergente de la ecuación de transporte sin necesidad de ignorar ningún término. El capítulo 7 está dedicada entonces al problema de generar campos de velocidad conservativos comenzando con el caso más simple en donde U0 es el campo que resulta de la suma de el campo inicial interpolado v 0 medido sobre un plano horizontal y la imposición de la conservación de masa para obtener la componente vertical que es exactamente la integral sobre el eje vertical de la divergencia de del campo inicial. Este campo es evitado en la literatura debido a que se piensa que es más sensible a errores en los datos, sin embargo, mostramos con un ejemplo analítico la verdadera razón de porqué no es un buen candidato para campo de velocidad, i.e., reproduce las variaciones del terreno en vertical. En el capítulo 8 nos centramos en el concepto de campo de velocidad ajustado y los problemas de frontera. Contamos con dos formas posibles y equivalentes para resolver este problema; la despcomposición de Helmholtz y la formulación variacional. Ambas aproximaciones resultan en una ecuación elíptica. La descompoción de Helmholtz tiene la desventaja de que no cuenta con una solución única en general, además de que no se ha llegado a un acuerdo de cuales son las mejores condiciones de frontera para este problema. Por su lado, la formulación variacional resulta en un problema bien definido con soluciones únicas, sin embargo, diferenciamos entre la formulación estándar y una propuesta hecha por (MA Núñez, 2012) cuya diferencia radica principalmente en las condiciones de frontera usadas para resolver la ecuación elíptica que determina el campo de velocidad ajustado. La formulación estándar de este problema consiste en imponer condiciones tipo Neumann ∂λ ∂n = 0 sobre el terreno que se entiende como una frontera cerrada y condiciones Dirichlet λ = 0 sobre el resto de la frontera o las fronteras abiertas. El problema con esta formulación, como es demostrado numéricamente en este trabajo, es que imponer condiciones tipo Dirichlet sobre alguna parte de la frontera genera una discontinuidad que altera el balance de masa mismo. Analizamos entonces la propuesta que impone condiciones Neumann sobre toda la frontera y verificamos como mejora por mucho el balance de masa del campo ajustado generado. Para esto calculamos el flujo y el porcentaje de masa que fluye en distintas regiones para un intervalo de tiempo de 3 horas y comparamos los resultados de los problemas de frontera estudiados para tres distintos campos iniciales y un caso equivalente al reportado por (Sanín y Gustavo Montero, 2007) para estudiar la dispersión de contaminantes atmosféricos. Finalmente, hacemos una revisión del problema de transporte y el cálculo de trayectorias para un campo ajustado en terreno complejo. Con valores pequeños de la componente S3 de la matriz S recuperamos el caso del campo U0 en donde las trayectorias del campo reproducen las variaciones del terreno en vertical pero con una matriz S adecuada es posible generar campos de velocidad realistas. En los apéndices se integra gran parte de la herramienta matemática usada para desarrollar este trabajo con ejemplos ilustrativos en cada sección.
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