Partícula en una estructura localmente periódica: evolución con el tamaño del sistema Pubblico Deposited
We study a linear chain of scatterers, of arbitrary shape, whose number is finite and are disposed in an ordered array; i.e., it is a locally periodic system. For simplicity, without loss of generality, we focus in the case where the chain is open only by one side, the other one is blocked by a potential step. By means of the transfer M and scattering S matrices, we study how the properties of the system change when the number of scatterers increases. In particular we study the evolution of the wave function with the system size, the formation of the bands in the ideal crystalline limit, and we understand the typical lengths of the system. For the S matrix we find a recursive relation with the number of scatterers, for which we take advantage of the map theory. We show that the behaviour of the wave function with the system size is given by the sensitivity to initial conditions. For a large enough number of scatterers we find how the bands of the system are formed. In its evolution towards the infinite system we find that the wave function decays exponentially in the bandgap, oscillates in the allowed band and decays as an q-exponential near the transition between bands from the the allowed band side. Also, we study the spatial properties of the system when the number of scatterers is fixed. We find that the decay length at the transition is just the mean free path divided by two, which is larger than the lattice constant, in complete agreement with known results in the literature for a superlattice. Finally, we give the theoretical bases for an experimental realization of an elastic system, which consists of exciting and detecting the amplitude of torsional vibrations in an elastic rod of square cross section with a series of notches whose number increases.
En este trabajo estudiamos una cadena lineal de dispersores, de forma arbitraria, cuyo número es finito y están dispuestos en forma ordenada; es decir, es un sistema localmente periódico. Por simplicidad, sin perder generalidad, nos enfocamos en el caso en que la cadena está abierta solo por un lado, el otro está bloqueado por un potencial escalón. Por medio de las matrices de transferencia M y de dispersión S, estudiamos como cambian las propiedades del sistema cuando el número de dispersores va aumentando. En particular estudiamos la evolución de la función de onda con el tamaño del sistema, la formación de las bandas en el límite cristalino ideal y logramos entender las longitudes típicas en el sistema. Para la matriz S encontramos una relación de recurrencia en el número de dispersores, para la cual tomamos ventaja de la teoría de mapas. Demostramos que el comportamiento de la función de onda con el tamaño del sistema está dado por la sensibilidad a las condiciones iniciales. Para un número suficientemente grande de dispersores encontramos como se forman las bandas del sistema. En su evolución hacia el sistema infinito encontramos que la función de onda decae exponencialmente en la banda prohibida, oscila en la banda permitida y decae como una exponencial q cerca de la transición entre las bandas, por el lado de la banda permitida. También, estudiamos las propiedades espaciales del sistema cuando el número de dispersores se mantiene fijo. Encontramos que la longitud de decaimiento en la transición es el camino libre medio dividido por dos, donde éste es mayor que la constante de la red, en completo acuerdo con resultados conocidos en la literatura para una superred. Finalmente, damos las bases teóricas para una realización experimental en un sistema elástico, el cual consiste en excitar y detectar la amplitud de vibraciones torsionales en una barra elástica desección transversal cuadrada, con una serie de muescas cuyo número va aumentando.
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