Se muestra que, para ambos puntos de vista, es posible calcular la constante de Feigenbaum, usando las distancias que existen entre los valores del parámetro para los cuales ocurre la bifurcación (de órbitas o de distribuciones). Se muestra que en ambos casos se sigue un patrón similar de comportamiento cuando ocurre una bifurcación. Por otro lado, también usando el Teorema Ergódico y usando la distribución invariante, se determina una expresión que permite calcular el valor que tiene el Exponente de Lyapunov en función del parámetro del mapeo; además, apoyados en el diagrama de bifurcación se determinan las islas de estabilidad que posee el mapeo logístico dentro de la región de comportamiento caótico. A partir del análisis hecho para el mapeo logístico, se presenta un procedimiento que permite diseñar un generador de ruido analógico usando un circuito Translinea! Cuadrático (QT: Quadratic Translinear) con transistores MOS (Metal-Oxide Semiconductor), comúnmente llamado circuito MOS QT, cuya función de transferencia tiene un comportamiento consistente con el mapeo logístico. El proceso de iteración de la función logística para la función de transferencia de este circuito se logra considerando la existencia de un amplificador de ganancia μ retroalimentando la salida hacia la entrada. Se muestra el diseño de un circuito MOS QT de Wiegerink, para el que se simula su comportamiento en tiempo y en frecuencia usando MatLab™ y HSPICE™. Para tal efecto, se usa una generalización del mapeo logístico que permite considerar niveles de corriente adecuados para la implementación real de los circuitos MOS. Finalmente, se muestran los resultados obtenidos del análisis de Monte Carlo hecho para el circuito diseñado considerando variaciones en el voltaje de umbral Vih y en las dimensiones de los transistores que constituyen el circuito.
El tema principal de esta tesis es el análisis de mapeos1 caóticos unidimensionales con técnicas de mecánica estadística para su aplicación en generadores de ruido. Se analiza el mapeo logístico usando, en función del parámetro que gobierna el mapeo, el diagrama de bifurcación, el diagrama de trayectorias, el Exponente de Lyapunov y su distribución estadística. También, analizando el comportamiento de las órbitas del mapeo, y usando el Teorema de Ergódico, se determina una expresión para calcular la distribución invariante. En particular, usando el diagrama de bifurcación se describe el fenómeno del doblamiento del periodo desde dos puntos de vista. El primero, que es la forma tradicional, analiza la ruta del orden al caos. Se describe el doblamiento del periodo de las órbitas que produce el mapeo haciendo variar el parámetro de μ = O hasta μ = J-1«,, que de acuerdo al criterio de estabilidad, f-1«, es el punto para el cual el mapeo entra al caos. De esta manera, se enfatiza la posibilidad de generar señales periódicas siempre que el valor del parámetro del mapeo sea tal que μ E (O, J-1«,) y aperiódicas si el valor del parámetro es tal que μ E (J-1«,, 4) . El segundo punto de vista, corresponde a un enfoque muy poco abordado, y considera la ruta del caos al orden. Se describe el doblamiento del periodo, pero ahora ya no es un fenómeno sobre las órbitas del mapeo, sino sobre las distribuciones invariantes de dicho mapeo. Esto se demuestra, haciendo variar, en forma decreciente, el parámetro en el intervalo μ E (J-1«,, 4) y calculando numéricamente la distribución invariante del mapeo para aquellos valores del parámetro en los que se hace la bifurcación de distribuciones.
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