Análisis bayesiano de modelos lineales para datos direccionales considerando la distribución normal bajo proyección Público Deposited
Aún más, cuando el objetivo es modelar datos con una estructura de dependencia, relativamente poco trabajo se ha realizado y, los modelos más comúnmente empleados en este caso son los modelos tipo von Mises y los modelos wrapped. Sin embargo, el análisis y la aplicabilidad de este tipo de modelos no ha sido directa ni desarrollada del todo de manera satisfactoria. Lo anterior, por un lado, debido a la complejidad del análisis que implica trabajar con este tipo de modelos y por otro lado, la particular estructura de dependencia de los datos. En ese proyecto de investigación se decidió trabajar con un modelo generado al proyectar radialmente una distribución bivariada, la distribución normal proyectada. Este tipo de modelos proyectados, al igual que los modelos tipo von Mises y los modelos wrapped, no son la excepción en cuanto a la dificultad de su análisis, y han resultado históricamente quizá los más complejos de estudiar. Sin embargo, con los recursos computacionales de que se disponen hoy en día y bajo un enfoque inferencial Bayesiano, como se muestra en este trabajo el modelo normal proyectado presenta ciertas características que lo vuelven atractivo para describir comportamientos probabilísticos de datos direccionales y, en particular para modelar relaciones de dependencia. Los procedimientos para llevar a cabo las inferencias para los modelos analizados en este trabajo se basan fundamentalmente en métodos de Monte Carlo vía Cadenas de Markov (MCCM). Finalmente, las metodologías desarrolladas en esta tesis se ilustran empleando conjuntos de datos tanto simulados como reales y datos previamente analizados en la literatura.
En el área de análisis de datos, el investigador se puede encontrar con observaciones detipo direccional. Particularmente, este tipo de datos puede aparecer en modelos lineales como la variable de respuesta. Por lo anterior, se tiene la necesidad de contar con modelos que describan la relación de dependencia entre una variable de tipo direccional y un conjunto de variables explicativas o covariables. El estudio de datos con estructuras de dependencia es un reto ya sea en términos técnicos o desde el punto de vista aplicado. Aún más, cuando se trabaja con datos donde la variable de respuesta es de tipo direccional, proponer modelos que permitan analizar adecuadamente relaciones de dependencia, requiere de un esfuerzo adicional. En el contexto de regresión se han propuesto varios modelos en la literatura que consideran una respuesta de tipo circular - direcciones en dos dimensiones -. Sin embargo, la mayoría de ellos presentan limitaciones para realizar inferencias adecuadas para todos los parámetros involucrados en el modelo. Adicionalmente, algunos presentan diversos problemas numéricos que son relevantes en su implementación práctica. Por su parte, cuando se trabaja con conjuntos de datos circulares de tipo longitudinal el problema se complica. Por un lado, hay que tomar en cuenta la dependencia natural que se tiene cuando se trabaja con medidas repetidas para un mismo conjunto de individuos. Por otro lado, el tratamiento de la naturaleza direccional de los datos implica trabajar con modelos probabilísticos especiales; para los cuales los métodos inferenciales asociados aún se encuentran en una etapa de continuo desarrollo. Lo anterior, da como resultado un vacío tanto en el planteamiento de modelos, que describan adecuadamente estructuras longitudinales de tipo circular, así como en propuestas para realizar inferencias en esta clase de modelos.
Este trabajo de investigación pretende contribuir al estudio de modelos lineales para datos direccionales. Particularmente, se implementa un análisis Bayesiano de un modelo de regresión donde la variable de respuesta es circular. Este modelo de regresión se basa en la distribución de probabilidad que se obtiene al proyectar radialmente una distribución normal bivariada específica. Adicionalmente, en este contexto, se analizan y discuten los problemas de datos faltantes y selección de modelos. Para el tratamiento de datos longitudinales donde la variable de respuesta es de tipo circular, en este trabajo se introduce un modelo basado en una versión de la distribución normal bivariada proyectada, donde cada uno de sus componentes se define a través de un modelo lineal de efectos mixtos. Por último, se propone una metodología Bayesiana para realizar inferencias para todos los parámetros involucrados en el modelo. En la literatura los modelos de probabilidad más utilizados para describir datos direccionales son los modelos tipo von Mises y los modelos wrapped o “envueltos” (descritos en el siguiente capítulo). Aunque los modelos anteriores son útiles para describir comportamientos probabilísticos para datos direccionales, los procedimientos para llevar acabo inferencias adecuadas sobre todos los parámetros involucrados en los respectivos modelos, no han sido del todo desarrollados.
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