Una primera mirada a las variedades metrizables y no metrizables Público Deposited
Este trabajo pretende dar una pequeña introducción a las variedades topológicas: definición, ejemplos, propiedades y dos teoremas de metrización. Esencialmente esta dividido en tres partes principales: En la primera parte, se dará la definición de variedad y se presentarán varios ejemplos clásicos: los espacios euclideanos, la circunferencia, la banda de Möbius y el toro. Además se presentarán dos ejemplos que no son tan conocidos: el rayo largo y la línea larga. Y veremos algunas propiedades importantes de estas dos últimas variedades. En esta parte también hablaremos de la construcción de los espacios adjunción, la cual nos permitirá definir algunos ejemplos de variedades. En la segunda parte, se dará un teorema de caracterización para variedades metrizables, el cual involucra las propiedades de Lindelöf, para compacidad y segundo numerabilidad. Mientras estudiamos este teorema, también probaremos algunas propiedades importantes de las variedades topológicas, en particular, que son completamente regulares. En la última parte que corresponde al capítulo 4, definiremos la compactación de Freudenthal de un espacio topológico Tychonoff y de borde compacto, con el objetivo de definir los extremos de una variedad. Daremos tres ejemplos concretos, es decir, describiremos la compactación de Freudenthal de tres espacios topológicos de los cuales dos son variedades y uno que no lo es. Definiremos extremo corto y largo y daremos un ejemplo de una variedad que tiene un extremo corto y uno largo. Y finalizaremos enunciando un teorema de metrización para variedades en términos de sus extremos aunque no lo demostraremos.
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