Estudio del control de procesos de difusión sobre superficies - León Velasco, Diana Assaely (Universidad Autónoma Metropolitana, 2016)
Muchos fenómenos físico-químicos modelados por EDP tienen lugar en la superficie del planeta Tierra, por lo que cabe preguntarse si es posible controlar algunos de ellos (por ejemplo, la contaminación). Los problemas de control sobre superficie son muy escasos; de hecho, buscando en la literatura encontramos el estudio teórico de Lebeau, pero no encontramos trabajos sobre la solución numérica de este tipo de problemas sobre superficies. Por lo tanto, en este trabajo se aborda el estudio de los problemas de control sobre superficies. En particular, se estudia numéricamente la controlabilidad de procesos de difusión sobre superficie en R 3 , como el toro y la esfera. Para lograr esto, empleamos una metodología que combina diferencias finitas para la discretización del tiempo, elementos nitos para la aproximación en el espacio y un algoritmo de gradiente conjugado para la solución iterativa de una función objetivo penalizada, con el objeto de encontrar el control óptimo asociado. Los tipos de problemas que se abordan en este trabajo son los de controlabilidad, es decir aquellos en donde el objetivos es llevar un sistema difusivo (modelado por ecuaciones diferenciales parciales) a un estado final deseado. Dado un intervalo de tiempo 0 < t < T, un estado inicial y0 y un estado final yT deseado, el objetivo es calcular el control υ, actuando en un subdominio de la región de interés, que permita alcanzar el estado yT , ya sea en forma exacta o aproximada. En el presente trabajo se abordan principalmente dos tipos de problemas de control: (i) Problemas de `controlabilidad aproximada', los cuales están asociados con funciones objetivo yT diferentes de cero. En este caso, la difusión y el tiempo juegan el papel más importante para lograr alcanzar en forma satisfactoria el objetivo (estado) yT . (ii) Problemas de `controlabilidad nula', los cuales están asociados a funciones objetivo yT = 0. Para este caso, se obtienen mejores resultados de controlabilidad, debido a que la tendencia natural de los sistemas de difusión, en donde no hay fuentes o una función de control, es producir soluciones convergentes al valor promedio del estado inicial