Patrones de Turing en sistemas biológicos - Ledesma Durán, Aldo (Universidad Autónoma Metropolitana, 2012)
La formación de patrones espacio-temporales es una de las características más importantes de los sistemas biológicos debido a que pueden ser determinantes tanto en el desarrollo y la función del organismo como en su supervivencia y adaptación al medio ambiente. En particular, una de las manifestaciones de gran inter ́es consiste en la formación de los patrones espaciales en la piel de algunos animales. La teoría más ampliamente aceptada que explica la formación de estas estructuras supone que un patrón químico inicial (genético), que en general puede depender de las condiciones externas, es responsable de que las células se diferencien siguiendo rutas metabólicas específicas que las llevan a formar los patrones que observamos, por ejemplo, en la piel. En el enfoque matemático del problema, estas suposiciones pue- den modelarse con bastante precisión en términos de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no-lineales que se conocen como ecuaciones de reacción difusión (RD). Estas ecuaciones aco- plan los procesos de transporte de masa y de reacciones químicas que son necesarios para dar una explicación cuantitativa de las observaciones experimentales. Los patrones que reproducen son conocidos como estructuras de Turing y fueron identificadas en el laboratorio solo recientemente. En este trabajo se estudian primeramente los conceptos fisicoquímicos y biológicos involucrados en las ideas de Alan Turing, para luego establecer el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que resultan de un mecanismo RD, y finalmente arribar a las condiciones matemáticas para producir patrones espaciales estacionarios. Después, describiremos los métodos de aproximación de diferencias finitas y elemento finito que nos permitirán resolver numéricamente estas ecuaciones, métodos que fueron programados en el lenguaje Matlab para el caso de una y dos dimensiones y distintas condiciones de frontera. Estos programas permitirán reproducir algunos resultados reportados en la literatura. Como contribución original, en es- te trabajo propondremos algunas modificaciones a los modelos existentes que permitirán comprender mejor los patrones que se encuentran en la piel de los peces Pseudoplatystoma.