En esta tesis trabajamos dentro del marco del álgebra topológica, enfocándonos principalmente en la teoría de grupos topológicos, paratopológicos y, en particular, en los grupos casi topológicos. Denotamos por τE a la topología usual de R y por τS a la topología de la recta de Sorgenfrey. En 2010, Hattori definió una familia de topologías {τ (A) : A ⊆ R} en R tales que τE ⊆ τ (A) ⊆ τS para cada subconjunto A de R. Denotamos por H(A) al espacio topológico (R, τ (A)), el cual se conoce como el espacio de Hattori asociado a A. Sabemos que R con su topología usual es un grupo topológico Hausdorff. La recta de Sorgenfrey, S es un grupo paratopológico que no es un grupo topológico. Más aun, S es un grupo casi topológico, y R es el grupo reflexión de S. Así, Hattori construye una familia de topologías entre la topología de un grupo casi topológico y la topología de su grupo reflexión. El problema que dio origen a este proyecto de doctorado fue la siguiente: Pregunta 1. ¿Podemos extender la construcción de las topologías definidas por Hattori en R a un grupo casi topológico arbitrario? Para responder esta pregunta, el Capítulo 1 presenta definiciones y resultados básicos de topología general. En el Capítulo 2, estudiamos los espacios de Hattori en R. Además, se muestra cómo modificar la construcción de Hattori en R para definir una familia de topologías sobre R 2 , utilizando la topología usual de R 2 y la topología del plano de Niemytzki. En el Capítulo 3, se incluyen definiciones y resultados de la teoría de grupos topológicos y paratopológicos. Si (G, τ ) es un grupo paratopológico, denotamos por τ∗ a la topología más fina de grupo topológico en G tal que τ∗ ⊆ τ . En el Capítulo 4, damos una respuesta afirmativa a la pregunta planteada. Dado un grupo casi topológico G, denotamos por G∗ a su grupo reflexión. Para cada subconjunto A de G definimos la topología de Hattori generada por A en G y denotamos por H(A) al espacio topológico (G, τ (A)) llamado el espacio de Hattori en G asociado a A. El capítulo 4, se divide en seis secciones: 1. Topologías de Hattori en grupos casi topológicos. 2. Propiedades topológicas básicas en los espacios de Hattori. 3. Retícula de Hattori. 4. Axiomas de separación. 5. Cerradura de subgrupos. 6. Funciones cardinales. En el capítulo 5, estudiamos el comportamiento de propiedades tipo compacidad en los espacios de Hattori en grupos casi topológicos. Mostramos que el único espacio de Hattori compacto en un grupo casi topológico propio es su grupo reflexión. Además, damos una caracterización de los espacios de Hattori localmente compactos. También se abordan propiedades relacionadas con la metrizabilidad. Mostramos que si A es un subconjunto propio de un grupo casi topológico G, entonces H(A) es polaco si y sólo si G es regular primero numerable separable y G \ A es numerable. En el capítulo 6, definimos los subespacios de Hattori. En este capítulo, se presentan ejemplos que muestran cómo algunos espacios topológicos conocidos pueden verse como subespacios de Hattori. A través del estudio de estos subespacios, se puede obtener información sobre dichos espacios topológicos conocidos. En el capítulo 7 introdujimos el concepto de compactos pequeños. Decimos que un espacio topológico tiene compactos pequeños si todo subespacio compacto es numerable. Demostramos que la clase de espacios topológicos con compactos pequeños es estrictamente distinta de la clase de espacios totalmente imperfectos. Finalmente, en el capítulo 8 presentamos las conclusiones generales del trabajo y proponemos una serie de problemas abiertos que, esperamos, resulten de interés para el lector y sirvan como punto de partida para futuras investigaciones en el área.
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