Representación de isomorfismos entre espacios de funciones continuas - Gary Gutiérrez, Margarita del Carmen (Universidad Autónoma Metropolitana, 2016)
Este trabajo tiene su punto de partida en el bien conocido teorema de Banach-Stone, que, básicamente, afirma que dos espacios compactos son homeomorfos si, y solo si, los espacios de Banach de funciones continuas a valores reales generados por ellos son isométricos. Nos preguntamos que pasaría si en lugar de considerar isometrías entre espacios de funciones continuas a valores reales y definidas sobre espacios compactos, considerábamos isomorfismos entre subgrupos de espacios de funciones continuas que toman valores en un grupo. Este planteamiento general del teorema de Banach-Stone, se ha desarrollado en esta memoria como sigue: En el primer capítulo, se plasma el teorema de Banach y el teorema de Banach-Stone, información recopilada de [1] y [32], respectivamente. En el segundo capítulo, consideramos isomorfismos entre subgrupos de espacios de funciones continuas definidas sobre espacios compactos y que toman valores en un grupo. En el tercer capítulo, consideramos isomorfismos entre subgrupos de funciones continuas con soporte compacto definidas entre espacios localmente compactos y que toman valores en un grupo. En el cuarto, capítulo, consideramos isomorfismos entre subespacios vectoriales de funciones continuas con soporte compacto definidas entre espacios localmente compactos y que toman valores en un campo finito. En el quinto capítulo, se presentaron las conclusiones obtenidas en este trabajo. La última parte corresponde a un anexo. En éste se describió, en forma muy breve y generalizada, un proyecto en el que se pretende generalizar los resultados conseguidos en esta tesis. En el segundo y tercer capítulo se obtuvieron homeomorfimos entre los espacios base como en el teorema de Banach-Stone, bajo la hipótesis que los respectivos subgrupos y subespacios de funciones separan puntos. Más aún, obtuvimos representaciones de los isomorfismos (definidos entre los respectivos subconjuntos de funciones continuas) que, automáticamente, los volvían continuos. El problema que solucionamos en el cuarto capítulo es aún más interesante porque en él se resuelve el caso en que los espacios de funciones no separan puntos. En este caso se dispone de menos información que en el teorema de Banach- Stone y aún así pudimos relacionar los espacios base. En este capítulo, se obtuvo una representación para cualquier isometría de Hamming, donde por isometría de Hamming nos referimos a aquel isomorfismo lineal entre subespacios vectoriales de funciones continuas con soporte compacto que preserva el peso, en la definición (4.1.3) se podrá ver con mayor precisión lo que significa ser una isometría de Hamming. Finalmente, no podemos dejar de mencionar que parte de los resultados, obtenidos como fruto de la investigación desarrollada en este trabajo, han sido publicados en dos artículos de las revistas Journal of Function Spaces y Journal of Mathematical Analysis and Applications (ver [7] y [8]). El trabajo publicado en la primera revista, corresponde al segundo capítulo y el publicado en la segunda revista corresponde a lo desarrollado en el cuarto capítulo de esta memoria. Cabe anotar que se han distribuido los capítulos con auto contenido, permitiendo así al lector analizarlos independientemente uno del otro.