Clases de grupos topológicos que se pueden encajar como subgrupos de productos de grupos primero numerable y segundo numerable - Pimienta Acosta, Adolfo Javier (Universidad Autónoma Metropolitana, 2011)
Como la integración era una herramienta fundamental en el estudio de los grupos de Lie, especialmente en las representaciones, el establecimiento de la existencia de las integrales apropiadas sobre clases generales de grupos topológicos se convertido en una cuestión importante. Esto lo consiguió Haar en 1933 para grupos localmente compactos con bases de abiertos numerables. Von Neumann (1934) dio otra prueba para grupos compactos arbitrarios de manera que la teoría de grupos de Lie compactos podía aplicarse a todos los grupos compactos y pudo resolver en este caso especial el problema planteado por Hilbert. El método de Haar de integración fue extendido a todos los grupos localmente compactos por Weil (1940). Sin embargo, existen serios obstáculos a la hora de extender la teoría de representación a grupos localmente compactos, y no fue hasta 1952 cuando el problema de Hilbert fue asentado por Gleason, Montgomery y Zippin. Su respuesta puede formularse de la siguiente forma: un grupo topológico es un grupo de Lie si, y solo si, es localmente compacto y no tiene subgrupos arbitrarios pequeños, es decir, el elemento identidad tiene un entorno compacto que no contiene subgrupos no triviales. Y, aunque la teoría de los grupos topológicos se desarrolló principalmente para estudiar los grupos de Lie su impulso provino de problemas en análisis, pronto se probó que era útil en conceptos puramente algebraicos. Ciertas construcciones algebraicas hacen que los grupos tengan estructuras topológicas naturales que son de alguna forma patológicas desde el punto de vista del analista. Como ejemplo tenemos los anillos de series de potencias, los grupos de Galois de extensiones infinitas de cuerpos y los grupos p-´adicos. Dicha patología se sitúa en la existencia de subgrupos arbitrariamente pequeños, pero en los casos más importantes los grupos son, de hecho, localmente compactos y de ahí que la integración pueda llevarse a cabo sobre ellos. La clase de los grupos topológicos ω-estrechos fue introducida por I. I. Guran en 9, no siempre fueron llamados ω-estrechos anteriormente eran conocidos como ℵ0-acotados. Dado que este concepto ya era utilizado en espacios topológicos, se decidió cambiar la terminología y llamar a los grupos en cuestión ω-estrechos. Estudiando está clase de grupos topológicos se pudo observar que gozaban de propiedades muy importantes, eran cerrados bajo productos, bajo subgrupos y bajo imágenes de homomorfismos continuos. Esto mostraba que la clase de los grupos topológicos ω-estrechos era análoga o paralela a la clase de espacios Tychonoff. De hecho, la clase más pequeña de espacios topológicos que contiene todos los espacios metrizables separables, cerrada bajo subespaciosy productos arbitrarios, es la clase de los espacios Tychonoff. La clase de los grupos topológicos ω-estrechos, caracteriza a los grupos topológicos que se pueden encajar como un subgrupo de un producto de grupos segundo numerable. Por otro lado, la clase de los grupos topológicos ω-balanceados fue introducida por G. I. Kats en 11, está clase de grupos topológicos caracterizaba a la clase de grupos topológicos que se pueden encajar como un subgrupo de un producto de grupos metrizables.; La teoría de los grupos topológicos es uno de los ejemplos más interesantes de interacción exitosa de dos áreas distintas de las matemáticas: la teoría de los grupos y la topología general. A través de esta última se incorpora también otra rama fundamental, como la teoría de conjuntos. La convergencia de estas fue el resultado de la influencia de la teoría de los grupos de Lie y de varias clases de grupos de transformaciones. Es, por tanto, difícil, delimitar la frontera entre la topología general y otras disciplinas próximas. Por ejemplo, algunas cuestiones planteadas en campos limítrofes pueden ser abordadas y resueltas con técnicas y conceptos que surgen de la topología general. Este fenómeno ha sido (y es) relevante y ha estado motivado con el hecho de que muchos investigadores en topología general se han formado en áreas colindantes como el análisis funcional o la geometría, e incluso el álgebra. Uno de los ejemplos de esta dificultad a la hora de establecer frontera entre la topología general y otras materias son los grupos topológicos abstractos, los cuales fueron definidos por Schreier en 1926, aunque la idea estaba implícita en trabajos muy anteriores sobre grupos continuos de transformaciones. La materia tiene sus origines en el programa de Klein (1872) de estudiar geometrías a través de los grupos de transformaciones asociadas a ellos y la teoría de Lie de grupos continuos saliendo de la solución de ecuaciones diferenciales. Los grupos clásicos de la geometría (grupos lineales generales, grupos unitarios, grupos simplecitos...) son de hecho, grupos de Lie, es decir, son variedades analíticas y sus operaciones de grupos son funciones analíticas. Por otra parte, Killing y Cartan probaron que todos los grupos de Lie simples son grupos clásicos, excepto un número finito de grupos excepcionales. En relación con los grupos topológicos, en 1900, Hilbert propuso el problema, el que hacia el número 5 de su famosa lista, de si todo grupo continuo de transformaciones de un espacio real o complejo de dimensión finita es un grupo de Lie. Sin embargo, este problema acabo formulándose de una forma más abstracta. Un grupo topológico es un espacio topológico con las operaciones de grupo continuas, y la pregunta es: ¿qué condiciones topológicas sobre un grupo topológico aseguran que tenga una estructura analítica que hagan que sea grupo de Lie?