Límites inductivos de álgebras topológicas - Márquez Martínez, Aura Carina (Universidad Autónoma Metropolitana, 2018)
Los límites inductivos han sido estudiados por diversos autores y en diversas categorías, cada uno de ellos con su complejidad; sin embargo son muy utilizados pues hay algunas propiedades que se preservan a través de ellos, pero hay propiedades que no como por ejemplo el de ser de Hausdorff o de Fréchet. En este trabajo presentamos y describimos con detalle e ilustramos con ejemplos las principales nociones y resultados relacionados con los límites inductivos en la categoría de los espacios vectoriales localmente convexos, espacios vectoriales bornológicos y en diferentes tipos de álgebras topológicas, a saber las localmente convexas y las localmente m-convexas. Este trabajo está dividido en cinco capítulos. En el capítulo 1 damos una breve introducción sobre la importancia de, en palabras del matemático Henri Hogbe Nlend, “A caminar sobre las dos piernas”. Una la topología, otra la bornología. En el capítulo 2 abordamos algunos de los conceptos, notaciones y propiedades básicas en espacios localmente convexos, así como en ´algebras topológicas. Además en las correspondientes secciones introducimos el estudio de dualidad, el cual juega un papel importante en el desarrollo de la teoría de espacios localmente convexos, de los límites inductivos, las diferentes topologías convexas en los espacios duales caracterizadas por el teorema de MackeyArens, cuyo estudio requiere de elementos más profundos de topología general y a los espacios barrilados cuya noción es útil en muchos otros contextos. El material anteriormente mencionado es necesario para hablar ampliamente sobre límites inductivos en las diversas categorías abordadas en los próximos capítulos. En el capítulo 3 nos dedicamos a estudiar los límites inductivos de espacios vectoriales topológicos. Se abordan los dos conceptos importantes para el desarrollo de esta tesis: la topología y la bornología, cuyo estudio ha permitido el avance de la investigación para los límites inductivos topológicos y bornológicos y posteriormente los límites inductivos de álgebras topológicas. Incluimos una descripción de las topologías límite inductivo (ó directo) lineal topológico y algunas consideraciones sobre el límite proyectivo (ó inverso) lineal topológico. Los casos especiales de cocientes, productos y sumas directas de espacios localmente convexos los tratamos de forma particular, así como los resultados más importantes de permanencia de ciertas propiedades en los espacios localmente convexos bajo la formación de límites inductivos o proyectivos. Por ejemplo que todo límite inductivo de espacios barrilados es barrilado y que todo producto o suma directa de espacios completos es completo. Además introducimos las nociones básicas de bornología, espacios vectoriales bornológicos y morfismos lineales acotados, enfocándonos especialmente en una bornología de un espacio vectorial topológico, la bornología de Von Neumann-Kolmogorov. Entonces pasamos al concepto de nuestro interés, el límite inductivo bornológico y un caso especial; los espacios de Mackey, cuyas propiedades son muy bien preservadas mediante el límite directo o inductivo. Después hablamos de un tipo especial de límite, el límite inductivo estricto cuyas características permiten la preservación de propiedades como el ser de Hausdorff o el ser un espacio de Montel y con algunas hipótesis extra, la completitud o el ser un conjunto acotado en los factores así como en el límite. Finalmente en este capítulo se abordan algunos casos particulares de los límites inductivos lineales topológicos y ejemplos. En el capítulo 4 estudiamos los límites inductivos en la categoría de álgebras topológicas, para ello introducimos la definición de límite inductivo en la categoría de álgebras, para después definirlo en álgebras topológicas. Un tipo de límite inductivo en esta categoría, estudiado por el estadounidense Seth L. Warner en el año de 1956, es el límite inductivo algebraico de álgebras localmente m-convexas, estudiamos las propiedades que se preservan mediante este límite. Además se hace una descripción detallada de cuando el límite inductivo topológico y el límite inductivo algebraico coinciden y cuya relación es importante para las topologías de ciertos espacios localmente convexos, por ejemplo en la teoría de distribuciones y la teoría de integración. Tratamos algunas álgebras especiales, álgebras que poseen propiedades análogas a los espacios vectoriales bornológicos: las i-bornológicas, las P-álgebras y las álgebras metrizables. Discutimos la extensión de propiedades i-bornológicas que se preservan mediante el límite inductivo algebraico en estas álgebras. Todo se ilustra mediante ejemplos. Posteriormente abordamos el límite inductivo de álgebras más generales; las álgebras localmente convexas, estudiado por el matemático italiano Alberto Arosio en el año de 1974. Aquí se proponemos un estudio reemplazando la m-convexidad por la convexidad. Enfatizamos sobre la falta de una hipótesis en uno de los resultados importantes para este tipo de límite y hacemos una serie de demostraciones originales para resultados que señalan la descomposición de ciertos límites inductivos en factores de álgebras más conocidas. En el capítulo 5 estudiamos en detalle el álgebra D(P) de todas las funciones complejo valuadas infinitamente diferenciables de soporte compacto a modo de ilustración, pues es una de las álgebras más completas que posee propiedades que ejemplifican casi todos los conceptos y propiedades descritas en esta tesis. Además concluimos con un resultado importante, “el puente” entre la bornología y la topología mediante el límite inductivo, cuya demostración, aunque sencilla, es original.