Método de elementos finitos mixtos para flujo monofásico en medios porosos - Sánchez Lozada, Judith Yareli (Universidad Autónoma Metropolitana, 2020)
La modelación numérica de un flujo multifásico en medio poroso se aplica en problemas de ingeniería petrolera, suelos y aguas subterráneas. En particular trabajamos el modelo de flujo en una fase, el cual se formula en términos de la presión y velocidad, basándose en argumentos de conservación de masa y la ley de Darcy. Nosotros consideramos dos casos. El primero consiste en suponer que se tiene un flujo incompresible y el segundo es considerar un flujo ligeramente compresible. Para modelar este problema es primordial contar con aproximaciones precisas y estables de la presión y la velocidad. Por esto, hemos estudiado dos estrategias: Elemento finito estándar (FE, por sus siglas en inglés) y el método de elemento finito mixto (MFE). Con el método FE primero se aproxima la presión resolviendo un problema elíptico y después se aproxima la velocidad con una formulación variacional a nivel nodal. En particular usamos elementos lineales y bilineales. Para calcular la velocidad se tienen dos opciones, una es usar la fórmula de Green en la forma débil y la otra es no usarla y calcular derivadas de presión. Encontramos que la mejor es la primera opción. Ahora, para aproximar las integrales probamos cuadraturas cerradas y abiertas y se obtuvo que las cerradas aproximan mejor las integrales. El método de elemento finito mixto plantea la formulación variacional como un problema de punto silla, lo cual permite aproximar la velocidad y la presión simultáneamente. En esta tesis, solamente usamos los elementos de Raviart-Thomas de bajo orden (RT0) en triángulos y cuadriláteros. Dado que para mallas triangulares conocemos explícitamente la forma de las funciones base, pudimos trabajar directamente con los elementos de la malla, lo cual nos permitió verificar que se implementó correctamente el método mixto. En el caso de cuadriláteros, como no conocemos a las funciones de forma explícitamente, usamos un elemento de referencia, que es mapeado a cada elemento de la malla mediante la transformación de Piola. Las pruebas de cuadratura y formas de aproximar la velocidad con el método de elemento finito se realizaron en el modelo de flujo monofásico incompresible, ya que las ecuaciones y dominio de este son más sencillas. También se usó este flujo para probar el método MFE con elementos RT0 en triángulos, sin y con elemento de referencia. Para resolver flujo monofásico ligeramente compresible con el método FE usamos cuadraturas cerradas y la fórmula de Green para la velocidad; además para el método MFE se empleó solamente el elemento de referencia, para los dos tipos de mallas; en ambos métodos implícitos para discretizar el tiempo. De los resultados numéricos se deduce que los elementos bilineales aproximan mejor la presión, en cambio el menor orden de error para la velocidad se obtiene con los elementos RT0 en cuadriláteros, sin embargo, estas aproximaciones son comparables con las que tenemos con el método FE en cuadriláteros, pero el tiempo de cómputo y la memoria que se usa para resolver el mismo problema es mayor con el método MFE. Palabras clave: métodos de elemento finito mixto, elementos de Raviart-Thomas, transformación de Piola, flujo monofásico.