Integral de Henstock Kurzweil y Transformada de Fourier Público Deposited

En el presente trabajo hacemos uso de la teoría de integración de Henstock-Kurzweil, que también es conocida como integración generalizada de Riemann, para extender las propiedades de la transformada de Fourier vía el método complejo de interpolación analizando las posibles diferencias entre las transformada seno y coseno de Fourier. Para este fin, en el capítulo 2 establecemos los conceptos básicos de la integral de Henstock-Kurzweil para el caso de funciones real valuadas definidas sobre intervalos compactos y sobre toda la recta real. Además, presentamos la relación ya existente y estrecha entre las funciones integrables en este sentido con el concepto de tener variación acotada; este ́ultimo hecho se conoce como teorema del multiplicador. También hacemos énfasis en la relación de esta integral con las definiciones dadas por Georg Friedrich Bernhard Riemann y por Henri León Lebesgue, mostrando así que el espacio de las funciones Henstock-Kurzweil integrables sobre intervalos compactos o sobre la recta real contiene propiamente al espacio de las funciones Lebesgue integrables. En el capítulo 3 presentamos condiciones necesarias para la existencia de la transformada de Fourier con respecto a la integral de Henstock-Kurzweil y vemos su relación con el espacio (de clases de equivalencia) de funciones Lebesgue integrables, este espacio se denota por L1(R). De hecho, ya existen resultados que extienden las propiedades clásicas de la transformada de Fourier definida sobre L1(R) al espacio de las funciones de variación acotada que se desvanecen en ±∞, el cual se denota mediante BV0(R). Véase [50]. En particular, en BV0(R) se define la transformada de Fourier mediante FHK : BV0(R) −→C∞(R\{0}) FHK ( f )(s) := ∫ ∞−∞ e−isx f (x) d x para cada s , 0, donde la integral es en el sentido de Henstock-Kurzweil. Sin embargo, existen temas pendientes a desarrollar tales como la continuidad de FHK ( f )(s) en s = 0 y el determinar cuando la transformada de Fourier de una función es nuevamente integrable. Para esto, se realizó un estudio por separado de las transformadas seno y coseno de Fourier encontrando comportamientos diferentes para funciones en BV0(R), véase Proposición 3.5. Esto muestra que el comportamiento diferente entre las dos transformadas se preserva aún para la integral de Henstock-Kurzweil. Además, el resultado principal del capítulo 3 es el Teorema 3.12 en el cual se demuestra que la transformada coseno de Fourier es un operador acotado de BV0(R) en el espacio de las funciones Henstock-Kurzweil integrables. Por último, en el capítulo 4 se hace uso de la teoría de interpolación para extender la transformada coseno de Fourier a espacios de funciones del tipo Lp(R) + BV0(R) con 1 ≤ p ≤2 y en (4.17) y (4.21) establecemos el comportamiento de los espacios de Sóbolev con respecto a las transformadas seno y coseno de Fourier. Para este objetivo, primero se realizó la construcción del espacio suma real L1(R) + BV0(R) por medio de un espacio cociente en el producto cartesiano L1(R) × BV0(R) y después se consideró la completez denotada por L1(R) + BV0(R), ver Proposición 4.4. Luego se consideró la complexificación de este espacio suma definido por L1(R,C) + BV0(R,C) := (L1(R) + BV0(R))+i (L1(R) + BV0(R)). En este espacio, se definió el operador transformada coseno de Fourier Fc1 : L1(R,C) + BV0(R,C) −→ L∞(R,C) + ̂HK(R,C) Fc1( f + g)(s) := Fc1 ( f )(s) + FcHK (g)(s) con s , 0. De esta manera, se restringió de manera continua la transformada coseno de Fourier al espacio de interpolación de L1(R,C) con BV0(R,C) obteniendo del Corolario 4.1 el siguiente diagrama: L1 ∩BV0 ¬//[L1, BV0]θ ¬// Fc1 L1 + BV0 Fc1 L∞ ∩ ̂HK ¬//[L∞, ̂HK]θ ¬//L∞ + ̂HK Sin embargo, para la transforma seno de Fourier no se obtuvo un resultado análogo ya que este último operador no se puede extender de manera acotada al espacio de las funciones Henstock-Kurzweil integrables. Lo que se probó en la Proposición 3.5 es que la transformada seno de Fourier de una función en BV0(R) no necesariamente es Henstock-Kurzweil integrable. Véase [5, 6].

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  • 2020
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Última modificación: 10/05/2022
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