Grupos paratopológicos - Sánchez Romero, Iván (Universidad Autónoma Metropolitana, 2013)
En el primer capítulo se encuentran algunas definiciones y resultados que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el segundo capítulo de esta tesis damos una caracterización interna de los subgrupos de productos de grupos paratopológicos Ti primero (segundo) numerables, para i = 0, 1. En el caso T1 demostramos que un grupo paratopológico T1 G es topológicamente isomorfo a un subgrupo de un producto de grupos paratopológicos T1 primero (segundo) numerables si y sólo si G es ω-balanceado (totalmente ω-estrecho) y G tiene número de simetría numerable, donde el número de simetría de un grupo semitopológico es definido como el mínimo cardinal κ tal que para cada vecindad U de e en G, existe una familia γ ⊆ N (e) tal que T V ∈γ V −1 ⊆ U y |γ| ≤ κ. También probamos que todo grupo paratopol´ogico 2-pseudocompacto con número de simetría numerable, es un grupo topológico. Construimos un grupo paratopológico abeliano H, funcionalmente Hausdorff, totalmente ω-estrecho con pseudocarácter numerable que no se puede condensar en un grupo paratopológico Hausdorff primero numerable. Además, Hs(H) > ω. Este ejemplo responde en forma negativa algunas preguntas planteadas por M. Sanchis y M. Tkachenko. En la sección 3.1 probamos que un grupo paratopológico regular totalmente ω-estrecho G tiene índice de regularidad numerable (lo cual responde una pregunta publicada por M. Tkachenko), es decir, para cada vecindad U de la identidad e en G, podemos encontrar una vecindad V de e y una familia numerable γ de vecindades de e tales que T W∈γ V W−1 ⊆ U. Utilizando este hecho demostramos que todo grupo paratopológico regular (Hausdorff) totalmente ω-estrecho es completamente regular (funcionalmente Hausdorff). También probamos que en todo grupo paratopológico regular G, el índice de regularidad de G es menor o igual que el número Lindelöf débil de G. En la sección 3.2 se demuestra que todo grupo paratopológico Hausdorff con π-carácter numerable tiene una diagonal Gδ de rango infinito. Este resultado responde en forma positiva una pregunta planteada por A. Arhangel’skii y A. Bella. También construimos un grupo paratopológico Hausdorff de π-carácter no numerable el cual contiene un subgrupo denso segundo numerable. En la secci´on 3.3 probamos que todo grupo paratopológico Hausdorff Lindelöf con pseudocarácter numerable se puede condensar sobre un espacio metrizable separable. Este resultado responde una pregunta de Tkachenko.