El presente trabajo se centra en el estudio de los espacios métricos difusos y del hiperespacio de los conjuntos difusos que son semicontinuos superiormente, normales y con soporte compacto. En el Capítulo 1 se presentan los conceptos preliminares necesarios para el desarrollo de los capítulos posteriores, tales como la métrica de Hausdorff, funciones semicontinuas, t-normas continuas y espacios uniformes. Además, se exponen resultados importantes dentro de la teoría de espacios métricos y de espacios uniformes. La mayoría de los resultados presentados en este capítulo serán utilizados más adelante. En el Capítulo 2 se introducen los espacios métricos difusos en el sentido de George y Veeramani, junto con algunas de sus propiedades básicas. También se presentan ejemplos que permiten asimilar mejor esta noción. El Capítulo 3 está dedicado al estudio de las propiedades de los espacios métricos difusos. En la Sección 3.1 se muestra que todo espacio métrico difuso induce una topología que resulta ser primero numerable. En la Sección 3.2 se demuestra que dicha topología es Hausdorff y, más aún, que todo espacio métrico difuso es un espacio topológico metrizable. La Sección 3.3 traslada los conceptos de precompacidad y completez, propios de la teoría de espacios métricos, al contexto difuso, y se prueban resultados importantes relacionados con ellos. Finalmente, el capítulo concluye con la Sección 3.4, dedicada al estudio de la completación métrica difusa, un concepto análogo al de completación en espacios métricos. En esta sección se muestra un ejemplo de un espacio métrico difuso que no admite una completación métrica difusa, lo cual contrasta con el hecho conocido de que todo espacio métrico admite una completación única, salvo isometrías. En el Capítulo 4, dado un espacio métrico difuso, se introduce la métrica difusa de Hausdorff, definida en el hiperespacio de los subconjuntos compactos. Todo el capítulo está dedicado a probar que dicha función es, efectivamente, una métrica difusa. Posteriormente, en el Capítulo 5, se estudia esta métrica difusa de Hausdorff, analizando sus propiedades y comparándola con su versión clásica. El Capítulo 6 se orienta hacia el ámbito aplicado. En él se desarrolla una versión difusa del Filtro de Mediana Vectorial (VMF) para imágenes a color. La métrica difusa propuesta combina similitud cromática y espacial, ofreciendo un manejo más flexible frente al ruido impulsivo multicanal sin introducir colores artificiales. Finalmente, en el Capítulo 7 se definen distintas uniformidades para el hiperespacio de los conjuntos difusos. En la Sección 7.1 se presentan la uniformidad de Skorokhod y la uniformidad por niveles, las cuales generalizan a las uniformidades inducidas por la métrica de Skorokhod y la métrica por niveles, respectivamente. En la Sección 7.2 se presentan la uniformidad endográfica y la uniformidad sendográfica, que generalizan a las uniformidades inducidas por la métrica endográfica y la métrica sendográfica, respectivamente.
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