Sistema de funciones iteradas, fractales y multifractales Público Deposited

En esta tesis se estudian los sistemas de funciones iteradas, los fractales y los multifractales para describir de manera cualitativa el comportamiento irregular de sistemas reales. La geometría fractal es una rama nueva en las matemáticas, pero que cuenta con un formalismo riguroso, por esto empezamos por hacer una descripción básica de la topología en diferentes espacios como R2 y el espacio de direcciones, para luego definir el espacio en el que viven los fractales. Se dan a conocer las técnicas usadas para crear de forma aproximada fractales determinista y figuras naturales como el Helecho de Barnsley, este método se llama sistema de funciones iteradas del cual se aplicaran dos algoritmos, uno llamado determinista y otro de iteración aleatoria. Los fractales construidos a través del algoritmo de iteraciones aleatorias pueden estudiarse como sistemas dinámicos caóticos en el espacio de direcciones. La dimensión fractal es una cantidad positiva no entera asociada únicamente a los fractales y que se ha calculado para muchos objetos reales, desde las costas de los países hasta los órganos humanos. Aquí se muestran las definiciones de dimensión fractal y dimensión de Husdorff-Besicovitch. Los sistemas de funciones iteradas por si solos no son suficientes para describir la compleja irregularidad de los objetos reales como por ejemplo las nubes, las montañas o el ADN, por esta razón es necesario agregar probabilidades que especifiquen zonas privilegiadas o marginadas. Para lo cual se estudia brevemente como una herramienta la teoría de la medida, las cadenas de Markov y los sistemas de funciones iteradas recurrentes como otro método de elaboración de imágenes. Finalmente, se hace una descripción de los multifractales como objetos que tienen una estructura más rica que los fractales al poseer todo un espectro de de dimensiones fractales que puede incluir dimensiones enteras y que se pueden construir como sistemas de funciones iteradas con probabilidad, no solo para obtener imágenes, sino también para describir el comportamiento de magnitudes físicas como la distribución de masa o carga y la dispersión de energía en turbulencias completamente desarrolladas. En conclusión, los fractales y los multifractales exhiben de forma matemática la estructura interna de objetos reales presentes en la naturaleza por lo que tienen el potencial de convertirse en un modelo aplicado cotidianamente en la física. Este trabajo recopila muchos de los resultados y temas tratados en la literatura sobre fractales y sistemas dinámicos, pero que no siempre se encuentran juntos, por ejemplo, los conjuntos de condensación, el teorema de Eggleston, los sistemas de funciones iteradas aplicadas a funciones, la multifractalidad y las relaciones con la estadística de Boltzmann, por lo que la tesis aporta en la manera en la que se abordan los temas los cuales muchas veces se encuentran de forma separada, de manera formal y matemática y otras veces con enfoques más prácticos, los tópicos son tratamos (sin extendernos demasiado) desde los dos puntos de vista tanto formal como aplicativo, por lo que de alguna forma contribuye tanto en completar, unir y agregar tanto explicaciones como gráficos ilustrativos relacionados con los resultados que algunas veces están faltantes en la bibliografía.

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  • 2021
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Última modificación: 09/29/2022
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