Espacios de Bergman pesados - Carmona Lomeli, Luis Javier (Universidad Autónoma Metropolitana, 2017)
Este trabajo es un estudio sobre uno de los espacios pesados de funciones analíticas más importantes: El espacio de Bergman pesado. Se estudian algunas de sus propiedades, caracterizaciones y la relación que tiene con otros espacios de funciones analitícas. En el primer capítulo se enuncian definiciones y resultados conocidos sobre operadores lineales en espacios de Banach. Se enuncia la desigualdad de Hölder, la cual es una estimación fundamental en el estudio de integrales en general y en particular de operadores integrales. También se presenta el Lema de Schur el cual da condiciones para que cierto operador integral sea acotado en L p ( D ; dA ) y se da una estimaci on integral (ver Teorema 1.4.2) la cual es fundamental en el estudio de operadores en espacios de funciones en el disco unitario. Por ultimo se de ne el espacio de Bergman, la proyección de Bergman y a partir de ellos se estudia una familia de operadores integrales en el disco unitario cuyo núcleo está formado a partir del núcleo de Bergman. En el segundo capítulo se enumeran propiedades generales de las transformaciones de Mobius, se de ne el espacio de Bloch y su relación con la proyección de Bergman, además se de ne la transformada de Berenzin. Dentro de este capítulo se da una prueba directa y original de la igualdad entre el espacio pequeño de Bloch B 0 y el espacio V M O ( D ), que consiste de las funciones analíticas que se desvanecen en la frontera.; En el tercer capítulo se definen los espacios pesados de Bergman s A p q , L ( p; q; s ) y los espacios -growth. Además, para 1 < s < 1 se da una caracterización de los espacios -growth, la cual está estrechamente relacionada con los espacioss A p q y L ( p; q; s ). También se prueba la igualdad ente los espacios s A p q y L ( p; q; s ). Se estudian algunas de sus propiedades tales como la Mobius invarianza, el anidamiento de inclusiones propias y se dan caracterizaciones alternativas. Además se define una norma para s A p q con 1 p < 1 , la cual es inducida por su definición, y con ella los espacios s A p q son completos. Para 0 < p < 1 se obtiene una m ¿étrica inducida por su definición, donde nuevamente los espacios son completos. Finalmente en el cuarto capítulo se estudia el operador de Bergman P del espacio L p ( D ; dA q ) en los espacios de Bergman pesados s A p q = L ( p; q; s ) y se prueba que es un operador acotado para ciertos valores de , p; q y s que en particular satisfacen la relacion q + 1 ( + 1) p y as un bien conocido Teorema (Teorema 1.5.5) se puede extender en el sentido de la su ciencia, gracias a la adicion del peso 1 φ z ( w ) j .