En este trabajo de tesis se investiga la precisión de algoritmos de aprendizaje automático (Machine Learning) para reconstruir modelos de sistemas dinámicos que presentan caos. En particular, nos enfocaremos en una generalización del célebre sistema Hamiltoniano de Hénon-Heiles. Finalmente, y de forma breve se estudia la aplicación de estos algoritmos en la predicción de arritmias en el corazón. Se plantean también algunas ideas para trabajos posteriores sobre la implementación de este tipo de algoritmos en el caso donde no se tiene acceso a la totalidad de datos y la información del modelo es incompleta. El contenido se estructura de la siguiente manera: la Introducción se presenta en el Capítulo 1, el marco teórico se describe en los Capítulos 2-4, los resultados se muestran en los Capítulos 5-6 y, finalmente, se exponen las Conclusiones en el Capítulo 7. De forma más detallada: En el Capítulo 2, se explican brevemente los elementos básicos de la teoría de sistemas dinámicos. Se incluyen los conceptos tales como el espacio fase y las herramientas usuales que se utilizan en el análisis de la dinámica del sistema (secciones de Poincaré, líneas de simetría). En el Capítulo 3, se discute la teoría de regresión lineal por mínimos cuadrados, que es parte del aprendizaje automático (Machine Learning), la cual permite construir una relación entre variables dependientes e independientes del conjunto de datos disponibles, reconociendo patrones y obteniendo un modelo matemático que describa la dinámica. Es importante enfatizar que se buscan modelos parsimonios, es decir que sean precisos (en términos del valor del error cuadrático medio y el coeficiente de correlación correspondiente) y sencillos (que sea representado por el menor número de términos en las ecuaciones de dinámicas), para esto se emplean herramientas del aprendizaje automático como la regularización y optimización, técnicas que también se abordan en este Capítulo. En el Capítulo 4, se presenta un algoritmo de aprendizaje automático (Machine Learning) que (re)construye las ecuaciones gobernantes de sistemas no lineales, denominado SINDy (Sparse Identification of Nonlinear Dynamics). Está basado en la aplicación de regresión lineal en conjunto con técnicas de regularización y optimización, en las series de tiempo (problema inverso) recopiladas por los experimentos o simulaciones. Con SINDy, en el Capítulo 5 se realiza la reconstrucción de un modelo caótico inspirado en el célebre sistema de Hénon-Heiles. El principal objetivo es estudiar cualitativa y cuantitativamente la precisión del algoritmo SINDy como función de la energía del sistema y los tipos de trayectorias que se presentan. En este modelo coexisten regiones de regularidad y caos. En el Capítulo 6 se investiga brevemente la reconstrucción de las ecuaciones gobernantes para un modelo que genera señales de electrocardiogramas (ECG) en el que se presentan transiciones entre dinámicas periódicas y caóticas. Finalmente, en el Capítulo 7 se resumen los resultados de este trabajo de Tesis, se presentan las conclusiones y se plantean temas de investigación para desarrollar en trabajos futuros.
In this thesis work, the accuracy of modern machine learning algorithms is investigated for reconstructing models of chaotic dynamical systems. In particular, we will focus on a generalization of the famous Hamiltonian system of H´enon-Heiles. Finally, a brief study is conducted on the application of these algorithms in predicting arrhythmias in the heart. Some ideas for future work are also proposed regarding the implementation of such algorithms in cases where access to the entirety of data is not available and model information is incomplete. The content is structured as follows: the Introduction is presented in Chapter 1, the theoretical framework is described in Chapters 2-4, the results are shown in Chapters 5-6, and finally, the Conclusions are presented in Chapter 7. In more detail: Chapter 2 briefly explains the basic elements of dynamical systems theory. Concepts such as phase space and the usual tools used in system dynamics analysis (Poincar´e surface sections, symmetry lines) are included. In Chapter 3, the theory of linear regression using least squares is discussed, which it´s an area of Machine Learning. This method allows to build a relationship between dependent and independent variables from the available data set, identifying patterns and creating a mathematical model that describes the dynamics. It is important to emphasize that parsimonious models are sought, meaning that they should be accurate (in terms of the mean squared error and the corresponding correlation coefficient) and simple (represented by the fewest possible terms in the dynamic equations). Machine Learning tools like regularization and optimization are used to achieve this, techniques that are also covered in this chapter. Chapter 4 presents a machine learning algorithm that (re)constructs the governing equations of nonlinear systems called SINDy (Sparse Identification of Nonlinear Dynamics) . It is based on the application of linear regression together with regularization and optimization techniques, on time series (inverse problem) collected from experiments or simulations. Using SINDy, Chapter 5 performs the reconstruction of a chaotic model inspired by the famous H´enon-Heiles system. The main objective is to qualitatively and quantitatively study the accuracy of the SINDy algorithm as a function of system energy and model parameters. This model exhibits regions of regularity and chaos. Chapter 6 briefly investigates the reconstruction of governing equations for a model that generates electrocardiogram (ECG) signals with transitions between periodic and chaotic dynamics. Finally, Chapter 7 summarizes the results of this thesis work, presents the conclusions, and proposes research topics for future work.
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