Construcción de Hartman-Mycielski - López Gaytán, Marcela (Universidad Autónoma Metropolitana, 2020)
Dado un grupo topológico G, se le puede asociar un grupo topológico G• conexo por trayectorias, localmente conexo por trayectorias y tal que G está encajado como subgrupo cerrado de G• . La construcción del grupo con las características que se acaban de mencionar, recibe el nombre de Construcción de Hartman–Mycielski. En este trabajo nos dedicamos a estudiar propiedades topológicas–algebraicas entre G y G• . Se sabe que G• comparte propiedades algebraicas con G de manera muy sencilla, por ejemplo, si G es un grupo abeliano, divisible, de torsión o libre de torsión, entonces G• también lo será. Veremos que algunas propiedades topológicas–algebraicas tienen un comportamiento parecido a lo que sucede con las propiedades algebráicas mencionadas anteriormente, es decir, se muestra que G• es metrizable, segundo numerable, ω-estrecho o separable, si y sólo si G tiene la misma propiedad. Un resultado más reciente es que G• es σ-compacto si y sólo si G es σ-compacto. La finalidad de la tesis, además de mostrar con detalle la construcción de Hartman– Mycielski, junto con las propiedades más importantes que comparten los grupos G y G• , es presentar dos hechos nuevos que surgieron durante el estudio y escritura de la misma. Los resultados que aporta la tesis son, la caracterización de cuándo G• es Lindel¨of: G• es Lindel¨of si y sólo si Gn es Lindel¨of para cada número natural n, y también la caracterización de cuándo G• es Cech-completo: ˇ el grupo G• es Cech-completo si y sólo si ˇ | G |= 1. Proporcionar dichas caracterizaciones son algunos problemas que permanecían abiertos en [2] y aquí damos respuesta a ello. Los resultados anteriores aparecen en el artículo [11], el cual ha sido enviado a la revista Topology and its Applications