Funciones algebraicas de una variable compleja - Zaldívar Cruz, Felipe de Jesús (Universidad Autónoma Metropolitana, 1995)
La teoría de Funciones algebraicas de una variable compleja, como el análisis complejo en general, se encuentra en forma privilegiada en la intersección de las principales ramas de la Matemática, y en este libro encontraremos algunas de las formas en que se presentan los objetos asociados a las funciones algebraicas, las superficioes de Riemman compactas: (i) como objetos analíticos-geométricos, i.e., variedades complejas de una dimensión uno; (ii) como objetos topológico-geométricos, i.e. como extensiones de grado de trascendencia uno de los numeros complejos. Al considerar superficies de Riemman compactas, probaremos dos de los resultados de la Teoría de Funciones del siglo XIX que ameritan inmortalidad, a saber, el Teoremea de Riemann-Roch y el teorema de Abel Jacobi. Después con el teorema de Dualidad de Serre, empezaría propiamente el análisis profundo de las superficies de Riemman compactas, y aquí presentaremos tan sólo algunas consecuencias geométricas de los teoremas arriba mencionados, apenas esbozando la riqueza de este teoría. El carácter introductorio de este libro nos permite tan sólo dar un panorama de los resultados clásicos desarrollados por los matemáticos de la segunda mitad del siglo pasado, principalmente Riemman, Abel, Jacobi y Weierstrass, pero usando el enfoque moderno de la cohomología de gavillas introducido por Serre, Grothendieck y otros matemáticos de nuestro siglo, que ha aclarado muchas de las ideas involucradas en este campo y áreas afines, permitiendo un punto de vista unificador, no sólo para ir de una a varias variables complejas, sino también incluyendo, además del campo complejo, otros campos no necesariamente algebraicamente cerrados de tal forma que se pueda hacer aritmética, uno de los requerimientos impuestos por Weil para fundamentar la Geometría Algebraica, de la cual este texto puede considerarse una introducción a una de sus partes clásicas.